Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
On munit {\mathbb{R}^n} de son produit scalaire canonique.
Pour {v\in\mathbb{R}^n}, on note {[v]} la matrice-colonne associée à {v} dans la base canonique {(e)}.
Si {v\ne0}, soit {h(v)} la réflexion de {\mathbb{R}^n} par rapport l’hyperplan {(\mathbb{R} v)^{\bot}}.
Soit {H(v)} la matrice de {h(v)} dans {(e)}.
On convient que {h(0)=\text{Id}} donc {H(0)=\text{I}_{n}}.

  1. Montrer que, pour {v\ne0} dans {\mathbb{R}^n}, on a :{H(v)=\text{I}_{n}-2\dfrac{[v]{[v]}^{\top}}{\left\|{v}\right\|^2}}
  2. Soit {u=(a_{1},\ldots,a_{n})} un élément de {\mathbb{R}^n}.

    Pour tout {j} dans {[[ 1,n]]}, on note :{u_{j}=(0,\ldots,0,a_{j},\ldots,a_{n})}On pose également : {\begin{array}{l}v_{j}=u_{j}+\varepsilon \left\|u_{j}\right\|\,e_{j}\\[6pts]=(0,\ldots,0,a_{j}\!+\!\varepsilon\left\|u_{j}\right\|,a_{j+1},\ldots,a_{n})\end{array}}{\begin{cases}\varepsilon=1\text{\ si\ }a_{j}\ge0\cr \varepsilon=-1\text{\ sinon}\end{cases}}

    • Montrer que : {v_{j}=0\Leftrightarrow u_{j}=0}.
    • Si {u_{j}\ne0}, soit {h_{j}} la réflexion par rapport à {(\mathbb{R} v_{j})^\bot} (sinon {h_{j}=\text{Id}}).

      Montrer que :{\begin{array}{l}h_{j}(u)=u-v_{j}\\[6pts]\quad=(a_{1},\ldots,a_{j-1},-\varepsilon\left\|u_{j}\right\|,0,\ldots,0)\end{array}}

  3. Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, inversible.

    En s’inspirant de ce qui précède, montrer qu’il existe {v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1}} dans {\mathbb{R}^n} tels que les coefficients sous-diagonaux des {k} premières colonnes des matrices {T_{k}=H(v_{k})\cdots H(v_{2})H(v_{1})M}soient nuls.

    En déduire l’existence d’une matrice orthogonale {\Omega} et d’une matrice triangulaire supérieure {T} telles que {M=\Omega T}.

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