Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
On fixe {a\in\,]0,1[}, et {J=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-a^2\sin^2t}\,\text{d}t}.

On va chercher une valeur approchée de {J}.

  1. Soit {g(x)=\sqrt{1\!-\!x}} et {\lambda_k=\dfrac{1}{(2k-1)4^{k}}\dbinom{2k}{k}}.

    • Exprimer {g^{(k)}} sur {[0,1[} en fonction de {\lambda_{k}}.
    • Établir que, pour tous {n\ge 1} et {x\in[0,1[} : {g(x)\!+\!\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k\!=\!-(n\!+\!1)\lambda_{n+1}\!\!\displaystyle\int_0^{x}\!\!\dfrac{(x\!-\!t)^n}{(1\!-\!t)^{n+1/2}}}
    • En déduire, pour {n\ge1} et {x\in[0,1[} : {\Bigl|g(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k\Bigr|\le\dbinom{2n}{n}\dfrac{x^n}{4^n}}
  2. On admet que {I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2k}t\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{4^{k}}\dbinom{2k}{k}}.

    On pose {\mu_k=\dfrac{a^{2k}}{(2k\!-\!1)16^k}\,\dbinom{2k}{k}^{2}}

    On pose {\ell_n=-\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mu_k=\pi\Bigl(1\!-\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\mu_k\Bigr)}

    • Montrer {\left|{J-\ell_n}\right|\le\varepsilon_n}, où {\varepsilon_n=\pi\,\dfrac{a^{2n}}{16^n}\dbinom{2n}{n}^{2}}
    • Donner un équivalent de {\varepsilon_n} quand {n\to\infty}.

      En déduire {J=\displaystyle\lim_{\infty}\ell_{n}=\pi\Bigl(1\!-\!\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\mu_n\Bigr)}

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