J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {x} est une variable réelle.

    • Préciser le domaine de définition de {J}, et montrer qu’elle est paire.
    • Calculer {K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta}, puis en déduire {J(1)}.
  1. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose {W_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{n}\theta\,\text{d}\theta}.

    • Calculer {W_{n}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
    • Calculer {J'(x)} sous la forme de la somme d’une série entière.
    • Comparer le développement en série de {J'(x)} avec celui de {\sqrt{1-x^{2}}}.
      En déduire l’expression de {J(x)} sur son domaine de définition.

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