La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
On pose {u_0=3}, {u_1=0}, {u_2=2}, et : {\forall\, n\ge3,\;u_n=u_{n-2}+u_{n-3}}.
L’objectif de l’exercice est de montrer la propriété {\mathcal{(P)}} : {(\mathcal{P}) :\text{pour tout entier premier\ }p,\,u_p\text{\ est divisible par\ }p}

On note {r_1,r_2,r_3} les trois racines de {P(X)=X^3-X-1} dans {\mathbb{C}}.

On définit la série entière réelle {f(t)=\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n\,t^n}.

  1. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {u_n=r_1^n+r_2^n+r_3^n}.

    Préciser le rayon de convergence {R} de {f(t)}.

  2. Pour {-R\lt t\lt R}, calculer {f(t)} sous forme de fraction rationnelle.
  3. On pose {t\mapsto\varphi(t)=-\ln(1-t^2-t^3)}.
    Justifier que {\varphi} est développable en série entière : {\varphi(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}v_nt^n}.

    Établir une relation entre {u_n} et {v_n}, pour {n\ge 1}.

  4. Soit {p} un entier premier. Montrer que {v_p} est un rationnel donc le dénominateur (dans la forme simplifiée de {v_p}) est premier avec {p}. En déduire que {u_p} est divisible par {p}.

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