J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {0\lt x\lt 1}.

Pour tout réel {\lambda>1}, et pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose : {L_{n}(\lambda)=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}ln\Bigl(\lambda^{2^{n}}+\lambda^{-2^{n}}-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta}

  1. Montrer que la suite {(L_{n}(\lambda))_{n\ge0}} est bien définie et qu’elle est constante.
    • En déduire l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda+\dfrac1\lambda-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta=\pi\ln\lambda}.
    • En choisissant bien {\lambda}, donner l’expression de {J(x)} pour {0\lt x\lt 1}.
  2. Vérifier que cette expression de {J(x)} s’étend à {-1\le x\le 1}.

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