Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {a\in\mathbb{R}}, on pose {u_{n}(a)=\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^{n+a}} (avec {n\ge1}).

On sait que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}(a)=\text{e}}. On va étudier les suites {u(a)}.

  1. Développer {u_{n}(a)}, quand {n\to+\infty}, à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}.

    En déduire la position de {u_{n}(a)} par rapport à {\text{e}} quand {n\to+\infty}.

  2. Pour tout {x\ge0}, on pose {F(x)=\dfrac{1}{\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)}-x}.

    • Montrer que {F} est strictement croissante sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    • En déduire que :

      ‣ ({u(a)} est majorée par {\text{e}}) {\iff a\le a_{0}=\dfrac{1}{\ln2}-1\approx 0.442695}.

      ‣ ({u(a)} est minorée par {\text{e}}) {\iff a\ge\dfrac12}.

  3. On fixe {a\in\mathbb{R}}. On pose {G(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)^{x+a}} pour {x\ge1}.

    • Étudier {x\mapsto H(x)= x(x+1)G'(x)=G(x)(H(x)-a)} pour {x\ge 1}.
    • En déduire les variations de {G} et la monotonie de la suite {u(a)}.

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