Étude de n ⟼ (1+1/n)n+a

(Oral Centrale Mp)
Pour {a\in\mathbb{R}}, soit {u_{n}(a)=\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^{n+a}} ({n\ge1}).
On sait que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}(a)=\text{e}}.
On va étudier les suites {u(a)}.

  1. Développer {u_{n}(a)} à l’ordre {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}.

    Placer {u_{n}(a)} par rapport à {\text{e}} quand {n\to+\infty}

  2. Pour {x\ge0}, soit {F(x)=\dfrac{1}{\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)}-x}.

    • Montrer que {F} croît strictement sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    • En déduire que :

      ‣ ({u(a)} est majorée par {\text{e}}) {\iff a\le a_{0}=\dfrac{1}{\ln2}-1\approx 0.442695}.

      ‣ ({u(a)} est minorée par {\text{e}}) {\iff a\ge\dfrac12}.

  3. Soit {a\in\mathbb{R}} et {G(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)^{x+a}\!\!\!} si {x\ge1}

    • Pour {x\ge1}, étudier : {H(x)\!=\! x(x\!+\!1)G'(x)\!=\!G(x)(H(x)\!-\!a)}
    • En déduire les variations de {G}.
      Préciser la monotonie de la suite {u(a)}.

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