Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
On munit {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} de la norme définie par {\left\|A\right\|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}\left\|a_{i,j}\right\|}.

  1. Montrer que tout {\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)} vérifie {\left|\lambda\right|\le \left\|A\right\|}.
  2. Pour tout {b\in\mathbb{N}^{*}}, on note {[[ -b,b]]=\{k\in\mathbb{Z},\;-b\le k\le b\}}.

    Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} à coefficients dans {[[ -b,b]]}.

    Soit {\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)}, non nulle. Prouver que {\left|\lambda\right|\ge {\left\|A\right\|}^{1-n}}.

  3. Soit {P=X^n-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}X^k}, où les {a_{k}} sont dans {[[ -b,b]]}.

    • Calculer le polynôme caractéristique de {A=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&a_{0}\cr1&0&\ddots&\vdots&a_{1}\cr0&1&\ddots&0&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&0&a_{n-2}\cr0&\cdots&0&1&a_{n-1}\end{pmatrix}}
    • Soit {\lambda} une racine non nulle de {P}.

      Avec ce qui précède, quel encadrement obtient-on pour {\left|\lambda\right|}?

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