Déterminant et polynômes

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour {0\le j\le n}, soit {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}.

Soit {M_{n}\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})} de terme général {a_{n,i,j}}
(les lignes et colonnes sont ici numérotées à partir de {0}).

Ainsi {M_{n}} est la matrice de {P_{n,0},P_{n,1},\cdots,P_{n,n}} dans la base {1,x,\cdots,x^n} de {\mathbb{R}_{n}[x]}.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des matrices {M_{n}}.

Notation : pour tout {x=(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n})} de {\mathbb{R}^{n+1}}, on note {V_{n}(x)} la matrice carrée d’ordre {n+1}, dite de Vandermonde, de terme général {x_{i}^{j}} (les indices {i} de ligne et {j} de colonne débutant à {0}, et en convenant bien sûr que {x_{i}^{0}=1}).

  1. Dans cette question, {x_{0}} est un réel quelconque différent de {-1}.

    Soit {U_{n}(x_{0})=\begin{pmatrix}1& x_{0}&x_{0}^2&\cdots& x_{0}^{n}\end{pmatrix}} (matrice-ligne de longueur {n+1}).

    • Montrer que {U_{n}(x_{0})\,M_{n}=(1+x_{0})^n\; U_{n}(y_{0})}, où {y_{0}=\dfrac{1-x_{0}}{1+x_{0}}}.
    • En déduire {M_{n}^2=2^n\,\text{I}_{n+1}}. À ce stade, peut-on dire si {M_{n}} est diagonalisable?
  2. Dans cette question {\begin{cases}x=(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n})\cr y=(y_{0},y_{1},\cdots,y_{n})\end{cases}}{x_{i}=i} et {y_{i}=\dfrac{1-i}{1+i}}.

    • Prouver que {\det\bigl(V_{n}(y)\bigr)=\dfrac{{(-2)}^{n(n+1)/2}}{{(n+1)!\,}^n}\det\bigl(V_{n}(x)\bigr)}.
    • En appliquant à nouveau (2a) montrer que {\det(M_{n})={(-2)}^{n(n+1)/2}}.
    • Montrer que le spectre complexe de {M_{n}} est inclus dans {\{\alpha=\sqrt{2^{n}},\beta=-\alpha\}}.
    • Dans cette question, on suppose que {n} est impair.

      Par un argument très simple, calculer {\text{tr}(M_{n})} et retrouver {\det(M_{n})}.

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