Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, on définit {f_{n}} sur {\mathbb{R}^{+}} par {f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}.

L’objectif de l’exercice est d’étudier la convergence simple de {(f_{n})_{n\ge1}} sur {\mathbb{R}^{+}}.

  1. Dans cette question, {x\in[0,1[} est fixé, et {n\in\mathbb{N}^*} est quelconque.

    • Montrer que {1-f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(nx)^k}{k!}}
    • En déduire l’encadrement {0\le 1-f_{n}(x)\le \dfrac{\text{e}^{-nx}\,(nx)^n}{n!\,(1-x)}}.
    • Montrer enfin que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=1}.
  2. Dans cette question, {x\in]1,+\infty[} est fixé, et {n\in\mathbb{N}^*} est quelconque.

    Montrer que {f_{n}(x)\le n\,\dfrac{(nx)^{n}}{n!}\,\text{e}^{-nx}}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=0}.

  3. On admet que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(1)=\dfrac{1}{2}}.

    Indiquer des intervalles de {\mathbb{R}} sur lesquels il y a convergence uniforme.

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