Approximants de Padé de exp(x)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, et pour tout réel {x}, on note :
{U_n(x)=\dfrac{1}{n!}(x-x^2)^n,\quad L_n(x)=U_n^{(n)}(x),\quad R_n(x)={\displaystyle\int_0^1}\text{e}^{xt}L_n(t)\,\text{d}t}

  1. Calculer les coefficients du polynôme {L_{n}(x)}.
    • Prouver que {R_n(x)=(-x)^n{\displaystyle\int_0^1}\text{e}^{xt}\,U_n(t)\,\text{d}t}.
    • En déduire l’inégalité {\left|x^{n+1}R_n(x)\right|\le\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}\text{e}^{\left|x\right|}}{4^n\,n!}}.
    • Pour tout {n\in\mathbb{N}}, montrer qu’il existe {P_n,Q_{n}} dans \mathbb{R}_{n}[X] tels que {x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)\text{e}^x-P_n(x)} pour tout réel {x}.
    • Montrer l’unicité du couple {(P_{n},Q_{n})}.
  2. Montrer que {Q_{n}(x)=P_{n}(-x)} et que {P_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(2n-k)!}{k!(n-k)!}\,x^k}.
  3. On va voir deux conséquences de ce qui précède (la première locale, valable au voisinage de {0}, et l’autre globale, sur tout le segment {[-1,1]}).

    • Montrer qu’à l’origine on a {\exp(x)=F_{n}(x)+\text{o}(x^{2n})} avec {F_{n}(x)=\dfrac{P_{n}(x)}{P_{n}(-x)}}.
    • Montrer que {\left|{\text{e}^x-\dfrac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}}\right|\le\dfrac{\left|x\right|^5}{80}} sur {[-1,1]}.

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