Accélération de convergence (Aitken)

(Oral Centrale Mp)
Soit {I} un intervalle réel d’intérieur non vide.

Soit {f:I\to I}, de classe {\mathcal{C}^{2}}, telle que :{M=\sup\limits_{x\in I}\left|{f'(x)}\right|\lt 1}On suppose : {\exists\, \alpha\in I,\;\begin{cases}f(\alpha)=\alpha\\\rho=f'(\alpha)\ne0\end{cases}}

On définit {(u_{n})_{n\ge0}} par {u_0\in I} et :{\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}On pose : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\begin{cases}e_{n}=u_{n}-\alpha\\ v_{n}=\rho^{-n}e_n\end{cases}}

  1. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\left|{e_{n}}\right|} converge.
    En déduire : {\exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;u_n=\alpha + \lambda \rho^n + \text{o}(\rho^n)}
  2. Montrer qu’on a en fait un développement : {u_n=\alpha + \lambda \rho^n + \mu \rho^{2n} +\text{o}\big( \rho^{2n} \big)}
  3. Soit {D_{n}} la droite passant par {(u_{n-1},u_{n})} et {(u_n,u_{n+1})}. On suppose qu’elle est bien définie et non parallèle à {\Delta:(y=x)}.

    On note {x_n} l’abscisse du point d’intersection de {D_{n}} avec {\Delta}. Montrer que la suite {(x_{n})_{n\ge0}} converge vers {\alpha}, et que :{x_n - \alpha =\text{o}( u_n - \alpha)}

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