Sommes de Riemann (3/3)

Exercice 1.
Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}}, continue. Montrer que {{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}}\,\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^kf\bigl(\dfrac kn\bigr)=0}.
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Exercice 2.
Soient {f,g} deux fonctions continues sur {[0,1]}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac1n\, \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Big(\frac kn\Big)g\Big(\frac {k+1}n\Big)=\displaystyle\int_{0}^{1} fg}.
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Exercice 3.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}, avec {S_n= \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{\sqrt{n^2+kn}}}.
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Exercice 4.
Soit {f\in\mathcal{C}^3([0,1],\mathbb{R})} et {n\in\mathbb{N}^*}.
On note {M_3=\displaystyle\sup_{[0,1]}\left|{f^{(3)}}\right|}.
On pose {S_n(f)=\dfrac{1}n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(\dfrac kn\Bigr)}.
On définit de même {S_n(f')} et {S_n(f'')}.

  1. Montrer la majoration :
    {\Bigl|\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f\!-\!S_n(f)\!-\!\dfrac{S_n(f')}{2n}\!-\!\dfrac{S_n(f'')}{6n^2}\Bigr|\!\le\!\dfrac{M_3}{24n^3}}
  2. Prouver le développement asymptotique : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_{0}^{1}f=&S_n(f)+\dfrac{f(1)\!-\!f(0)}{2n}\\[12pts]&\quad-\dfrac{f'(1)-f'(0)}{12n^2}+\text{O}\Bigl(\dfrac1{n^3}\Bigr)\end{array}}

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