Matrices complètement inversibles

(Oral X-Cachan)
Dans {\mathbb{R}^n} euclidien, on note {S_n} la sphère unité.

Pour {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} on note : {\begin{array}{rl}\mathcal{F}(A)&=\Bigl\{\dfrac{x^{\top}A\,x}{x^{\top}x},\;x\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}\Big\}\\[9pts]&=\{x^{\top}A\,x,\;x\in S_n\}\subseteq \mathbb{R}\end{array}}

  1. Montrer que {\mathcal{F}(A)} est un intervalle contenant le spectre réel de {A}.
  2. Si {A} est symétrique, montrer que {\mathcal{F}(A)} est un segment et en préciser les bornes.
  3. On dit que {A} est entièrement inversible si {0\not\in \mathcal{F}(A)}. Montrer qu’alors {A^{-1}} existe et est entièrement inversible.
    Montrer que toute sous-matrice obtenue en supprimant les mêmes lignes/colonnes de {A} est complètement inversible.

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