Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout entier {n\ge1}, on note :

  • {\mathscr{D}_n} l’ensemble des diviseurs strictement positifs de {n}.
  • {G_{n}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, de terme général {g_{i,j}=i\wedge j } (le pgcd de {i} et {j}).
  • {F_{n}=\text{diag}(\varphi(1),\ldots,\varphi(n))}, où \varphi est la fonction indicatrice d’Euler.
  • {A_{n}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de terme général {a_{i,j}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i\mid j\cr 0\text{\ sinon}\end{cases}}
  1. Soit {n} dans {\mathbb{N}^*}, et {f\colon[[ 1,n]]\to\mathscr{D}_n} définie par {f(k)=n\wedge k}.
    Montrer que tout {d\in\mathscr{D}_n} possède {\varphi\Bigl(\dfrac nd\Bigr)} antécédents par {f}.
    En déduire l’égalité {\displaystyle\sum\limits_{d\in\mathscr{D}}\varphi(d)=n}.
  2. Montrer que {G_{n}=\,^{\texttt{t}}A_{n}\,F_{n}\,A_{n}}. En déduire {\det(G_{n}).\phantom{\biggl(}}
  3. Déterminer {B_{n}}, triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs et telle que {G_{n}=\,^{\texttt{t}}B_{n}\,B_{n}}. Prouver son unicité.

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