Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)

  1. Déterminer l’ensemble de définition {I} de :{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}
  2. Montrer que {f} est continue et strictement décroissante sur {I}.
  3. Calculer la limite de {f} en {+\infty} et en {0^+}.
  4. Trouver un équivalent de {f} en {0}.
    On admettra que: {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{12}.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :