Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(a_{n})} une suite de {\mathbb{R}^+}. On note {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k} et on suppose {\lim\limits_{+\infty }a_{n}S_n=1}.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}. Montrer que {S_{n+1}\sim S_{n}}.
  2. Montrer {\lim\limits_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2} et {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}
  3. Si {b_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}, montrer {\lim\limits_{+\infty}b_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}=1}.
  4. Généralisation. Soit {\alpha\ge0}.
    Que dire de {a_{n}} si {\lim\limits_{+\infty}a_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{\alpha }=1}?
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