Dans une quartique, le nombre d’or

(Oral Centrale Mp)
Soit P un polynôme de degré {4}, à coefficients réels. On note {(\Gamma)} la courbe de {y=P(x)} dans un repère orthonormé.

On suppose que {(\Gamma)} a deux points d’inflexion distincts {U,V}, d’abscisses {u,v}, avec {u\lt v}.

Soit {\Delta} passant par {U} et {V} recoupe {(\Gamma)} en deux points {A,B} d’abscisses {a\lt b}.

  1. Montrer que {AB,UV} ont même milieu.
  2. Montrer que {b-a=\sqrt5(v-u)}.
  3. En déduire {\dfrac{UV}{AU}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}} (le nombre d’or).

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