Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {E=\{f\in C^{2}([0,1],\mathbb{R}),\;f(0)=f^{\prime }(0)=0\}}.

Pour {f\in E,\| f\|=\| f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }\| _{\infty }}.

  1. Montrer que {f\mapsto\| f\|} est une norme sur {E}.
  2. Soit {f\in E}. On pose {g=f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }}.
    Montrer : {\forall t\in [0,1],\;f(t)=e^{-t}\displaystyle\int_{0}^{t}(t-x)e^{x}g(x)\,\text{d}x}.
  3. Montrer qu’il existe {a>0} tel que {\forall f\in E,\;||f||_{\infty }\leq a||f||}.

    Trouver la valeur optimale de {a}.

  4. Existe-t-il {b>0} tel que {\forall f\in E,||f||\leq b||f||_{\infty }}?

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