Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan)
On considère l’espace vectoriel : {E\!=\!\{f\!\in\! C^{2}([0,1],\mathbb{R}),\,f(0)\!=\!f^{\prime }(0)\!=\!0\}}On pose{\| f\|=\| f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }\| _{\infty }}.

  1. Montrer que {f\mapsto\| f\|} est une norme sur {E}.
  2. Soit {f\in E}. On pose {g=f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }}.

    Montrer que, pour tout {t\in [0,1]} : {f(t)=e^{-t}\displaystyle\int_{0}^{t}(t-x)e^{x}g(x)\,\text{d}x}

  3. Montrer qu’il existe {a>0} tel que :{\forall f\in E,\;||f||_{\infty }\leq a||f||}Trouver la valeur optimale de {a}.
  4. Existe-t-il {b>0} tel que :{\forall f\in E,\;||f||\leq b||f||_{\infty }\text{?}}

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