Sommes de sous-espaces vectoriels

Exercice 1.
Montrer que dans l’espace vectoriel {E} de toutes les fonctions {f} de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, les ensembles {\mathcal P} et {\mathcal I} formés respectivement des fonctions paires et impaires forment
deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
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Exercice 2.
Soient {A,B,C,D} quatre sous-espaces de {E} tels que {E=A\oplus B=C\oplus D}.
On suppose que {A\subset C} et {B\subset D}. Montrer que {A=C} et {B=D}.
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Exercice 3.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.

  1. Soient {E_1} et {E_2} deux sous-espaces de {E} tels que {E=E_1+E_2}, et soit {F_2} un supplémentaire de {E_1\cap E_2} dans {E_2}.
    Montrer que {E=E_1\oplus F_2}.
  2. Soient {E_1,E_2,\ldots,E_n} des sous-espaces de {E} tels que {E=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}E_k}.
    Montrer qu’il existe des sous-espaces {F_1,F_2,\ldots,F_n} de {E} tels que {F_j\subset E_j} pour tout indice {j} et tels que {E=F_1\oplus F_2\oplus\cdots\oplus F_n}.

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