Familles libres, génératrices, bases (2/2)

Exercice 1.
Soit {E} l’espace des fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.
On note {f_k:x\mapsto\left|x-k\right|}. Montrer que la famille {(f_1,f_2,\ldots,f_n)} est libre.
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Exercice 2.
Dans {\mathbb{K}[X]}, on se donne une suite de polynômes non nuls {(P_n)_{n\ge0}}.
On suppose : {\forall n\in\mathbb{N},\;\deg P_n\lt \deg P_{n+1}}.

  1. Montrer que la famille {(P_n)_{n\ge0}} est libre.
  2. Montrer que c’est une base de {\mathbb{K}[X]} si et seulement si : {\forall n\in\mathbb{N},\;\deg P_n=n}.

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Exercice 3.
Soit {u_1,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de {E}.
On définit les vecteurs {v_k=u_1+\cdots+u_k}, pour {1\le k\le n}.
Montrer que {(u)} est libre (resp. génératrice) \Leftrightarrow il en est de même de {(v)}.
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Exercice 4.
Soient {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, non constants, premiers entre eux.
Soit {n} dans {\mathbb{N}}. On pose {P_k=A^kB^{\,n-k}}.
Montrer que P_0,P_1,\ldots,P_n forment une famille libre.
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Exercice 5.
Soient {\alpha,\beta} deux scalaires distincts. Soit {n} un entier naturel.
Pour tout {0\le k\le n}, on note {P_k=(X-\alpha)^k(X-\beta)^{n-k}}.
Montrer que P_0,P_1,\ldots,P_n forment une base de {\mathbb{K}_n[X]}.
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