Applications linéaires en dim finie (1/3)

Exercice 1.
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

.
Soit

{f}

un endomorphisme de

{E}

tel que

{f^n=0}

{f^{n-1}\ne0}

.
Soit

{x}

un vecteur de

{E}

tel que

{f^{n-1}(x)\ne0}

.
Montrer que la famille

{x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)}

est une base de

{E}

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Exercice 2.
Soit

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

{g\in{\mathcal L}(F,G)}

{E}

étant de dimension finie.
Montrer que

{\dim(\text{Im} f\cap\text{Ker} g)=\dim\text{Im} f-\dim\text{Im}(g\circ f)}

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Exercice 3.
Soit

{f}

{g}

deux endomorphismes de

{E}

(de dimension finie).
On suppose que

{E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}

.
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Montrer que ce résultat n’est plus vrai si

{\dim E=+\infty}

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Exercice 4.
Montrer que

{\varphi:P\to P+P'}

est un automorphisme de

{\mathbb{K}[X]}

.
En est-il de même avec

{P\mapsto\psi_\lambda(P)=\lambda P-XP'}

, où

{\lambda\in\mathbb{R}}

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Exercice 5.
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension finie

{n}

.
Soit

{f}

un endomorphisme de

{E}

On suppose que pour tout ${u}$ de ${E}$ , il existe un entier ${m}$ tel que ${f^m(u)=0}$ .
Montrer qu’il existe un entier ${p}$ tel que pour tout ${u}$ de ${E}$ , ${f^p(u)=0}$ .

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