Applications linéaires (2/4)

Exercice 1.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, commutant avec tous les endomorphismes de {E}.
Montrer que {f} est de la forme {\lambda\text{Id}}, avec {\lambda\in\mathbb{K}}.
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Exercice 2.
Soientt {E,F,G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {f\in{\mathcal L}(E,G)} et {g\in{\mathcal L}(F,G)}.
Montrer que {\text{Im} f\subset\text{Im} g\Leftrightarrow\exists\, h\in{\mathcal L}(E,F)} tel que {f=g\circ h}.
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Exercice 3.
Soientt {E,F,G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {f\in{\mathcal L}(E,G)} et {g\in{\mathcal L}(E,F)}.
Montrer que {\text{Ker} g\subset\text{Ker} f\Leftrightarrow\exists\, h\in{\mathcal L}(F,G)} tel que {f=h\circ g}.
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Exercice 4.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, et deux scalaires {\alpha\ne\beta}. Montrer l’égalité : {\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\\\\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
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Exercice 5.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Montrer que si {u} est injective alors pour tous sous-espaces vectoriels {F} et {G} en somme directe, {f(F)} et {f(G)} sont en somme directe.
Est-ce que la réciproque est vraie?
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