Applications linéaires (1/4)

Exercice 1.
Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E}.
Montrer que si {f} et {g} commutent, alors {\text{Ker} f} et {\text{Im} f} sont stables par {g}.
Prouver que si {f} est un projecteur alors la réciproque est vraie.
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Exercice 2.
Soit {p} et {q} deux projecteurs de {E}.
Montrer que {p+q} est un projecteur si et seulement si {p\circ q=q\circ p=0}.
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Exercice 3.
Soit {p} et {q} deux projecteurs de {E}.
Montrer que {\text{Ker}\,p=\text{Ker}\,q} si et seulement si {p=p\circ q} et {q=q\circ p}.
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Exercice 4.
Soit {p} un projecteur non nul de {E}.
Montrer que {f_\lambda=\text{Id}+\lambda p} est injective si et seulement si {\lambda\ne-1}.
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Exercice 5.
Soit {E} un {\mathbb{C}-}espace vectoriel, et {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f\circ f=-\text{Id}}.
Soit {V=\{x\in E, f(x)=ix\}} et {W=\{x\in E, f(x)=-ix\}}.
Montrer que {V} et {W} sont deux sous-espaces supplémentaires dans {E}.
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