Structure d’anneau (2/2)

Exercice 1.
Montrer qu’un anneau intègre et fini est un corps.
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Exercice 2.
Soit {x} un élément nilpotent d’un anneau {A}.
Montrer que {1-x} est inversible et préciser son inverse.
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Exercice 3.
Soit {A=\{a+b\sqrt2, a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}\}}.

  1. Montrer que {A} est un sous-anneau intègre de {\mathbb{R}}.
  2. Pour tout {x=a+b\sqrt2} de {A}, on pose {N(x)=a^2-2b^2}.
    Montrer que : {\forall (x,y)\in A^2,\;N(xy)=N(x)N(y)}.
  3. En déduire que {x\in A} est inversible si et seulement si {N(x)=\pm1}.
  4. Montrer que les éléments {\pm(1+\sqrt2)^n} de {A} sont inversibles.
  5. Réciproquement, soit x un élément inversible de {A}.

    • Montrer qu’on peut se ramener à {x=a+b\sqrt2}, avec {a\in\mathbb{N}^*} et {b\in\mathbb{N}}.
    • Montrer alors que {x=(1+\sqrt2)^n} avec {n\in\mathbb{N}} et conclure.
      Indication : si {b\ge1}, considérer {x_1=\dfrac{x}{1+\sqrt2}}.

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