Structure d’anneau (1/2)

Exercice 1.
Soit {A} un anneau et {C=\{x\in A,\forall\, y\in A, xy=yx\}}.
Montrer que {C} est un sous-anneau de {A}.
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Exercice 2.
Soit {A} un anneau tel que : {\forall\, (a,b)\in A^{\,2},\;(a^2-a)b=b(a^2-a)}.

  1. Montrer que {\forall\, (x,y,z)\in A^{\,3}, (xy+yx)z=z(xy+yx)}.
  2. Montrer que {A} est un anneau commutatif.

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Exercice 3.
Soit {A} un anneau sans élément nilpotent (autre que {0}).
Soit {a\in A} un élément idempotent (càd tel que {a^2=a}).
Montrer que {a} commute avec tout élément de {A}.
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Exercice 4.
Soit {A} un anneau tel que : {\forall x\in A,\;x^2=x} (anneau de Boole).

  1. Donner des exemples d’une telle situation.
  2. Montrer que : {\forall a\in A,\;2a=0}. En déduire que {A} est commutatif.
  3. Montrer que {A} ne peut pas se réduire à trois éléments.
  4. On suppose que {A} est fini et de cardinal supérieur à {2}.
    Montrer que {A} possède des diviseurs de zéro (considérer {xy(x+y)}).
  5. Si {\text{Card}(A)=4}, montrer que {A} est unique à isomorphisme près.
  6. Montrer que si {A} est fini, son cardinal est une puissance de {2}.

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