Dérivation des polynômes (1/2)

Exercice 1.
Trouver {P} tel que {P(1)=3,\;P'(1)=4,\;P''(1)=5} et {\forall\, n\ge3,\;P^{(n)}(1)=0}.
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Exercice 12.
Un polynôme unitaire {P} de degré {n} vérifie : {nP=(X-a)P'+2bP''}.
Donner les coefficients de {P} suivant les puissances de {X-a}.
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Exercice 3.
Soient {(a,b,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^2}, et {P=\dfrac1{n!}X^n(a-bX)^n}.
Montrer que P et ses dérivées prennent des valeurs entières en {x=0} et en {x=\dfrac ab}.
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Exercice 4.
On considère le polynôme {P_n=1+X+\dfrac{X^2}{2!}+\cdots+\dfrac{X^n}{n!}}.

Montrer que {P_n} n’a que des racines simples dans {\mathbb{C}}.

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