Utilisation du théorème de Rolle (2/2)

Exercice 1.
Soit {f\colon[a,b]\to\mathbb{R}}, trois fois dérivable. Montrer qu’il existe c\in\,]a,b[ tel que : {\begin{array}{rl}f(b)&=f(a)+\dfrac{b-a}2\left[f'(a)+f'(b)\right]\\\\&\quad-\dfrac{(b-a)^3}{12}f^{(3)}(c)\end{array}}
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Exercice 2.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, dérivable, telle que {f'(a)=f'(b)}.

Montrer : {\exists\, c\in ]a,b],\;f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}}.

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Exercice 3.
Soit {f\colon[0,2]\to\mathbb{R}} de classe {{\mathcal C}^3}, telle que {f(0)=f(1)=f(2)=0}.

Montrer que : {\begin{array}{l}\forall x\in[0,2],\;\exists\,c\in\,]0,2[,\\\\f(x)=\dfrac{x(x-1)(x-2)}6f^{(3)}(c)\end{array}}

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Exercice 4.
Soit {f:[a,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}} continue, dérivable sur {]a,+\infty[}.

On suppose {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=f(a)}. Montrer qu’il existe {c>a} tel que {f'(c)=0}.

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Exercice 5.
Soient {f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}} deux fonctions continues, dérivables sur {]a,b[}.

  1. Montrer qu’il existe {c\in\,]a,b[} tel que : {(f(b)\!-\!f(a))g'(c)=(g(b)\!-\!g(a))f'(c)}
  2. On suppose {f(a)\!=\!g(a)\!=\!0} et {\displaystyle\lim_{a}\dfrac{g'}{f'}\!=\!\ell}
    Montrer que {\displaystyle\lim_{a}\dfrac{g}{f}=\ell}.

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