Limites de suites monotones

Exercice 1.
Soit {k} un entier supérieur ou égal à {2}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, soit {u_n=\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\ldots+\dfrac1{kn}}.
Montrer que la suite {(u_{n})} converge (on ne demande pas sa limite).
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Exercice 2.
On considère la suite {n\mapsto u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{\ldots+\sqrt n}}}}.
Montrer que pour tout {n}, on a l’inégalité {u_{n+1}^2\le1+\sqrt2\,u_n}.
La suite {(u_n)} est-elle convergente?
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Exercice 3.
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite bornée telle que : {\forall\, n\ge1}, {2u_n\le u_{n-1}+u_{n+1}}.
Montrer que cette suite est convergente.
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Exercice 4.
Soit {(u_n)} une suite réelle. On pose {v_n=\dfrac1n(u_1+u_2+\cdots+u_n)}.

  1. Montrer que si {\displaystyle\lim_\infty u_n=\ell} alors {\displaystyle\lim_\infty v_n=\ell}.
  2. Vérifier sur un exemple que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que si {(u_n)} est monotone, alors la réciproque est vraie.

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Exercice 5.
Soit {p_n} la probabilité d’obtenir exactement {n} fois pile en {2n} lancers d’une pièce équilibrée. Calculer {p_n} et déterminer {\displaystyle\lim_\infty p_n}.
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