Limite et continuité en un point (3/3)

Exercice 1.
Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que {\begin{cases}f(1)=1;\;\forall x\ne0,\;f(x)\,f\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=1\quad(1)\phantom{\biggl(}\\\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=f(x)+f(y)\quad (2)\end{cases}}

  1. Montrer que {f} est impaire.
  2. Prouver que pour tout rationnel {x}, {f(x)=x}.
  3. Vérifier que pour tout réel {x}, {f(x^2)=f(x)^2}.
  4. En déduire que {f} est croissante.
  5. Prouver finalement que pour tout réel {x}, {f(x)=x}.

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Exercice 2.
Pour tout {x} de {I=\,]0,1[}, de développement décimal {x=0,r_1r_2\ldots r_n\ldots},
on pose {f(x)=0,r_2r_1r_4r_3\ldots} Étudier la continuité de {f}.
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Exercice 3.
Soit {f} une fonction croissante sur {[a,b]}.
Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.
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Exercice 4.
Donner un exemple d’une fonction {f:[0,1]\rightarrow[0,1]}, strictement croissante
et ayant une infinité dénombrable de points de discontinuité.
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