Limite et continuité en un point (2/3)

Exercice 1.
Étudier la continuité de {f} définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {f(x)=1-x\left\lfloor\dfrac{1}{x}\right\rfloor}.
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Exercice 2.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction à la fois {1}-périodique et {\sqrt2}-périodique.
On suppose de plus que {f} est continue en {0}.
Montrer que {f} est constante.
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Exercice 3.
On définit {f:\;]0,1[\rightarrow\mathbb{R}} de la manière suivante:

  • Si {x} est irrationnel, {f(x)=0}.
  • Si {x} s’écrit {\dfrac pq} (fraction irréductible), alors {f(x)=\dfrac 1q}.

Montrer que {f} est continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels.

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Exercice 4.
Soient {f,g} deux fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, continues en {x_{0}}.
Montrer que {\inf (f,g)} et {\sup (f,g)} sont continues en {x_{0}}.
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