Intégration par parties

Exercice 1.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x\ln x}{(x^2+1)^2}\text{d}x}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 2.
Calculer {I_{\lambda,n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!x^\lambda\ln^nx\,\text{d}x} {(\lambda>0,n\in\mathbb{N})}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 3.
Calculer {I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}x\,\text{d}x} et {J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin^{2n}x\,\text{d}x}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 4.
Soit {I_n^m=\displaystyle\int_{0}^{1} x^m(1-x)^n\,\text{d}x}, {(m,n)\in\mathbb{N^2})}

  1. Trouver une relation entre {I_n^m} et {I_{n-1}^{m+1}}.
    En déduire {I_n^m}.
  2. Calculer {J_n^m=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2m+1}x\,\cos^{2n+1}x\,\text{d}x}
    (indication : poser {x=\arcsin\sqrt t})
  3. En déduire {K_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\,\text{d}x}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 5.
Calculer {I(a)=\displaystyle\int_{1/a}^{a}\dfrac{\ln x}{1+x^2}\,\text{d}x} {(a>0)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :