Égalités ou inégalités de Taylor

Exercice 1.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^n}, {n+1} fois dérivable sur {[a,b]}.

Montrer qu’il existe {c\in\,]a,b[} tel qu’on ait l’égalité de Taylor-Lagrange :{f(b)=f(a)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)+\dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)}

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Exercice 2.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^2} et telle que: {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\begin{cases}|f(x)|\le M_0\\\|f''(x)|\le M_2\end{cases}}
Montrer que pour tout {x}, {|f'(x)|\le M_1}{M_1=\sqrt{2M_0M_2}}.
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Exercice 3.
Calculer la limite suivante : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sum_{p=1}^n\sin\dfrac{p}{n^2}}.
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Exercice 4.
Soit {f}, de classe {{\mathcal C}^2} au voisinage de {a}, avec {f''(a)\ne0}.
Les accroissements finis donnent {f(a+h)=f(a)+hf\,'(a+\,\theta_h h)}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\,\theta_h=\frac12}.
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Exercice 5.
Soit {f} une fonction de classe {{\mathcal C}^2} sur un voisinage de {a}.
Montrer que : {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=f''(a)}
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Exercice 6.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^{\infty}}, telle que {\forall\, n\in\mathbb{N}, f^{(n)}(0)=0}.
On suppose : {\exists\,\lambda>0,\;\forall\, x\in\mathbb{R},\;\forall\, n\in\mathbb{N},\; \left|{f^{(n)}(x)}\right|\le n!\lambda^n}.
Montrer que {f} est identiquement nulle sur {\mathbb{R}}.
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