Continuité sur un intervalle (1/3)

Exercice 1.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} existent dans {\mathbb{R}}.
Montrer que {f} est bornée sur {\mathbb{R}}.
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Exercice 2.
Soit {f=I\rightarrow \mathbb{R}} une fonction continue sur un intervalle {I}.
On suppose {\left|f\right|} constante sur {I}. Montrer que {f} est constante sur {I}.
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Exercice 3.
Soit {f} une fonction continue de {[a,b]} dans lui-même.
Montrer qu’il existe un point {x_0} de {[a,b]} tel que {f(x_0)=x_0}.
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Exercice 4.
Soient {f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}, continues, telles que {\begin{cases}f(0)=g(1)=0\\f(1)=g(0)=1\end{cases}}
Montrer que : {\forall \lambda\ge0,\,\exists\, x_0\in[0,1],\;f(x)=\lambda g(x)}.
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Exercice 5.
Soient {f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continues, avec : {\forall\, x\in[a,b]}, {0\lt g(x)\lt f(x)}.
Montrer que : {\exists\,\lambda>1,\;\forall x\in[a,b],\;f(x)\ge \lambda g(x)}.
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Exercice 6.
Soit {f,g} continues sur {[a,b]}, à valeurs réelles, avec {f([a,b])\subset g([a,b])}.
Montrer qu’il existe {x_{0}} dans {[a,b]} tel que {f(x_{0})=g(x_{0})}.
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