Fonction logarithme népérien

Exercice 1.
Résoudre le système {\begin{cases}x+y=25\cr\ln x+\ln y=\ln 100\end{cases}}
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Exercice 2.
Résoudre le système {\begin{cases}x^2+y^2=169\cr\ln x+\ln y=\ln 60\end{cases}}
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Exercice 3.
Soit m un paramètre réel.
Résoudre le système {\begin{cases}x+y=2m-1\\\ln x+\ln y=\ln(m^{2}-m)\end{cases}}
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Exercice 4.
Résoudre l’équation {\ln(x+3)+\ln(x+5)=\ln15}.
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Exercice 5.
Montrer que: ({p>0}, {q>0}, et {p+q=2}) {\Rightarrow p^{p}q^{q}\in[1,4[}.
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Exercice 6.
Montrer que : {\forall x\gt 0,\;x-x^2/2\lt \ln(1+x)\lt x}.
En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\prod_{k=1}^n(1+\dfrac k{n^2})}.
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Exercice 7.
Montrer que : {\forall x\in]-1,1[,\;\ln(1+x)\le x\le -\ln(1-x)}.
En déduire la limite de {u_n=\dfrac1n\!+\!\dfrac1{n\!+\!1}\!+\!\cdots\!+\!\dfrac 1{pn}} ({p\in\mathbb{N}}, {p\ge2}).
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