Dérivée nième (2/2)

Exercice 1.
Pour tout entier naturel {n}, établir que : {\dfrac{\text{d}^n}{\text{d}x^n}\left((4x)^{n+1/2}\,\dfrac{\text{d}^{n+1}}{\text{d}x^{n+1}} \text{e}^{\sqrt x}\right)=\text{e}^{\sqrt x}}Indication : montrer {z_n^{(n)}=y}, où {y=\text{e}^{\sqrt x}} et {z_n=(4x)^{n+1/2}y^{(n+1)}}.
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Exercice 2.
On pose {f_{n}(x)=x^{n-1}\ln(1+x)}. Montrer que : {f_{n}^{(n)}(x)=(n-1)!\left(\dfrac 1{1+x}+\dfrac1{(1+x)^2}+\cdots+\dfrac1{(1+x)^n}\right)}
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Exercice 3.
Calculer la dérivée n-ième de {f(x)=\text{e}^{x\,\text{ch} a}\,\text{ch}(x\,\text{sh} a)}.
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