Dérivation et inégalités (2/2)

Exercice 1.
Pour tout entier {k\ge2}, et pour {0\le t\le 1}, on pose :
{\varphi_{k}(t)=\ln\Bigl(1-\dfrac{t}{k}\Bigr)-t\,\ln\Bigl(1-\dfrac1{k}\Bigr)}Prouver l’inégalité {0\le \varphi_{k}(t)\le \dfrac{2t(1-t)}{k^{2}}}.
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Exercice 2.
Prouver que : {\forall x>-1,\;\ln(1+x)\le x-\dfrac{5x^{2}}{6(2+x)}}.
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Exercice 3.
Montrer que : {\forall t\in\mathbb{R}^{+*}\setminus\{1\},\;\dfrac{t^{3}-1}{3\ln(t)}\lt \biggl(\dfrac{1+t}{2}\biggr)^{3}}.
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Exercice 4.
Montrer que : {\forall n\in\mathbb{N}^{*},\;\text{e}-\dfrac{\text{e}}{2n}\le \Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n}\le \text{e}}.
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