Calculs de dérivées (1/2)

Exercice 1.
Simplfifier la somme {S_n(x)=1+2x+3x^3+\cdots+nx^{n-1}}.
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Exercice 2.
Calculer la dérivée de {x\mapsto f(x)=\sqrt{\dfrac{1+\sin{\sqrt x}}{1-\sin{\sqrt x}}}}.
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Exercice 3.
Calculer la dérivée de {x\mapsto f(x)=\cos x(1+\tan x\,\tan\dfrac x2)}.
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Exercice 4.
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
{\begin{array}{l}f(x)=\ln\dfrac{\sqrt{1\!+\!x^2}\!-\!1}{\sqrt{1\!+\!x^2}\!+\!1}\quad g(x)=\ln\cos\dfrac1x\\\\h(x)=\ln\dfrac{\sqrt{1\!+\!x^2}\!-\!\sqrt{1\!-\!x^2}}{\sqrt{1\!+\!x^2}\!+\!\sqrt{1\!-\!x^2}}\\\\ k(x)=\ln\ln\ln x\end{array}}
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