Sommes de Riemann

Exercice 1.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}, avec {S_n=\dfrac1n\Bigl(\dfrac{(2n)!}{n!}\Bigr)^{1/n}}.
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Exercice 2.
Soient {f\in{\mathcal C}^3([a,b],\mathbb{R})}, {n\in\mathbb{N}^*}, et {M_3=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|{f^{(3)}}\right|}.
On pose {S_n(f)=h \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f(a+kh)}.
On définit de même les quantités {S_n(f')} et {S_n(f'')}.
On pose {h=\dfrac{b-a}{n}}. Montrer les égalités suivantes :

  1. {\Bigl|\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x-S_n(f)-\dfrac{h}{2}S_n(f')-\dfrac{h^2}{6}S_n(f'')\Bigr|\le\dfrac{nh^4}{24}M_3}
  2. {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=S_n(f)+\dfrac{h}{2}\bigl(f(b)-f(a)\bigr)-\dfrac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)+{\text{O}}\Bigl(\dfrac1{n^3}\Bigr)}

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Exercice 3.

  1. Existence de {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos(t)+x^{2})\,\text{d}t} pour {x\ne\pm1}.
  2. Montrer que {X^{2n}-1=(X^{2}-1)\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(X^{2}-2X\cos\Bigl(\dfrac{k\pi}{n}\Bigr)+1\Bigr)}.
  3. Avec des sommes de Riemann, calculer {I(x)} pour {\left|{x}\right|\lt 1} et {\left|{x}\right|>1}.

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