Relations d’ordre

Exercice 1.
Soient {E,F} deux ensembles ordonnés, et {A} une partie non vide de {E}.
Soit {f} une application croissante de {E} dans {F}.
Montrer que si {\max(A)} existe, alors {\max(f(A))} existe et vaut {f(\max A)}.
Est-ce encore vrai si on remplace “{\max}” par “{\sup}“?
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Exercice 2.
Soient {\mathcal{R},\mathcal{S}} deux relations d’ordre total sur {E}.

  1. On définit la relation {\mathcal{T}} sur {E} par : {x\mathcal{T}y\Leftrightarrow (x\mathcal{R}y\;\text{et}\;\ x\mathcal{S} y)}.
    Est-ce une relation d’ordre (total, partiel)?
  2. Même question en définissant : {x\,\mathcal{U}\,y\Leftrightarrow (x\mathcal{R}y\;\text{ou}\;\ x\mathcal{S}y)}.

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Exercice 3.
Sur {\mathbb{R}\times\mathbb{R}}, on définit deux relations {\mathcal{R},\mathcal{S}} par : {\begin{cases}(x,y)\mathcal{R}(x',y')\Leftrightarrow x\le x'\;\text{et}\;y\le y'\\(x,y)\mathcal{S}(x',y')\Leftrightarrow (x\lt x')\;\text{ou}\;(x=x'\;\text{et}\; y\le y')\end{cases}}Est-ce que {\mathcal{R}} et {\mathcal{S}} sont des relations d’ordre?
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Exercice 4.
Soient {E,F} deux ensembles ordonnés (l’ordre de {E} étant total).
Soit {f:E\rightarrow F}, croissante.
Montrer que {f} est injective si et seulement si elle est strictement croissante.
Que dire si on ne suppose pas que {E} est totalement ordonné?
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Exercice 5.
Cet exercice est connu sous le nom de “problème des hussards”.
Soit {(a_{ij})_{1\le i\le n,\,1\le j\le p}} une famille de {np} réels.
Comparer {A=\displaystyle\min_{1\le i\le n}\;(\displaystyle\max_{1\le j\le p} a_{i,j})} et {B=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\;(\displaystyle\min_{1\le i\le n} a_{i,j})}
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