Petites intégrales généralisées (2/2)

Exercice 1.
Calculer {J\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}x}{x^{3}+1}} et {K\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{x\,\text{d}x}{x^{3}+1}}.
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Exercice 2.
Existence et calcul de {I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x}.
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Exercice 3.
Calculer {K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}t}{(t^{2}+1)^{n}}} (avec {n\ge1}).
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Exercice 4.
Calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\,\text{d}t}{(t+1)(t+2)(t+3)}}.
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Exercice 5.
Étudier l’existence et la valeur de {I_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\ln(t)}{t^{n}}\,\text{d}t}, avec {n\ge 1}.
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