Intégrales de Wallis et Futuna

Soit {F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}t}{\text{ch}^{n}t}} (intégrales de Futuna).

  1. Existence et valeurs de {F_{1}\;\text{et}\;F_{2}}.
  2. Trouver une relation de récurrence.
  3. Calculer les intégrales {F_{2n}} et {F_{2n+1}}.
  4. Soit {W_n\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\cos^n x\,\text{d}x} (Wallis).

    Pour {n\ge 1}, prouver que {F_n=W_{n-1}}.

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