La fonction Gamma d’Euler

Exercice 1. (Définition de la fonction Gamma d’Euler)

Préciser le domaine de la fonction {x\mapsto \Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.

Montrer que : {\forall\, x>0,\;\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}.

Préciser {\Gamma(n+1)} pour n\in\mathbb{N}. Montrer que {\Gamma\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)=\sqrt{\pi}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 2. (Continuité de la fonction {\Gamma})
Montrer que {\;x\mapsto \Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t\;} est continue sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 3. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{1}})
Montrer que {\;x\mapsto \Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t\;} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 4. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{\infty}})
Montrer que {\;\Gamma\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t\;} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Montrer que {\;\Gamma^{(p)}(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\ln^{p}(t)\,t^{x-1}\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site