Régularité d’une série de fonctions

Soit la série {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}.

  1. Étudier la convergence de cette série sur {\mathbb{R}^+}.
  2. Montrer que sa somme {S} est continue sur {\mathbb{R}^+}.
  3. Prouver que {S} est décroissante et positive sur {\mathbb{R}^+}.
  4. Préciser {S(0)}, et montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0}.
  5. Etablir que {S} est de classe {{\mathcal C}^1} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
  6. Prouver que {S} est convexe sur {\mathbb{R}^+}.
  7. Montrer que {S} n’est pas dérivable en {0}.

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