Petits calculs de sommes de séries

Exercice 1.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}n}, et en déduire {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)}}.
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Exercice 2.
Sachant {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6}, calculer {T=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(2n\!-\!1)^2}} et {U=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}}.
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Exercice 3.
Calculer la somme de la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^3}{n!}}.
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Exercice 4.
Pour tout {a\in\mathbb{C}} tel que {\left|{a}\right|\lt 1}, calculer {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} na^n}.
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Exercice 5.
Nature et somme de la série {\displaystyle\sum u_n}, où {u_n=\arctan \Bigl(\dfrac1{n^2+n+1}\Bigr)}
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Exercice 6.
Nature et somme de la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n}, avec {u_n=\dfrac1n\Bigl(\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor\Bigr)}.
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