| Exercice 1. Soit {p\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)} de matrice {M=\dfrac{1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\cr 0&1&0&-1\cr-1&0&1&0\cr0&-1&0&1\end{pmatrix}} dans la base canonique. Montrer que {p} est un projecteur orthogonal. Donner une base orthonormale de {\text{Im}(p)} et de {\text{Ker}(p)}. |
| Exercice 2. Diagonaliser {A=}{\begin{pmatrix}3&2&2\cr 2&2&0\cr 2&0&4\end{pmatrix}} dans le groupe orthogonal. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}. |
| Exercice 3. Montrer que la matrice {A=}{\begin{pmatrix}1-i & -2 & -3 & 4 \cr -2 & 2-i & 18 & 2 \cr -3 & 18 & 1-i & 1 \cr 4 & 2 & 1 & 3-i\end{pmatrix}} est inversible. |
| Exercice 4. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, symétrique, telle que {A^{m}=I}, avec {m\ge1}. Montrer que {A^2=I}. |
| Exercice 5. Soit {A=(a_{ij})}, symétrique réelle d’ordre {n}, de valeurs propres {(\lambda_k)_{1\le k\le n}}. Montrer que {\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2=\sum_{k=1}^n\lambda_k^2}. |