Matrices symétriques, produits scalaires

Exercice 1.
Soit

{A}

, symétrique réelle d’ordre

{n}

.
Pour toutes matrices-colonne

{X,Y}

on pose

{\varphi(X,Y)={X}^{\top}AY}

Exprimer ${\varphi(X,Y)}$ en fonction des composantes de ${X}$ et de ${Y}$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de ${A}$ , et en fonction des valeurs propres de ${A}$ .
Montrer que l’application ${(X,Y)\mapsto\varphi(X,Y)}$ définit un produit scalaire si et seulement si toutes les valeurs propres de ${A}$ sont strictement positives.

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Exercice 2.
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes.

Il existe ${M}$ dans ${\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ telle que ${A={M}^{\top}M}$ .
La matrice ${A}$ est symétrique et ses valeurs propres sont positives ou nulles.

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Exercice 3.
On considère la matrice

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, de terme général

{a_{ij}=\dfrac{1}{i+j-1}}

.
Montrer que les valeurs propres de

{A}

sont strictement positives.

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