Une base orthonormale de ℝ[X]

On munit {\mathbb{R}[X]} du produit scalaire :{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose :{U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;\text{et}\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}

  1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est orthogonale.
  2. Calculer {J_{n,m}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t)^m\,\text{d}t} et en déduire {\left\|{P_{n}}\right\|} pour tout {n}.
  3. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.

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