Une famille de matrices 3×3

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2016)
On considère

{M(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

.

Montrer que, pour tous ${a}$ , ${b\in \mathbb{R}}$ , ${M(a)M(b)=M(a+b-3ab)}$ .

À quelle(s) condition(s) la matrice ${M(a)}$ est-elle inversible ?

Trouver une suite ${(u_{n})}$ telle que ${M(a)^{n}=M(u_n)}$ pour tout ${n\in \mathbb{N}}$ .

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