Suite implicite et série

(Oral Ccp Psi 2013)
On pose {f_{n}\,\colon x\mapsto nx^{3}+n^{2}x-2}.

  1. Montrer que, pour {n\ge1}, la fonction {f_{n}} a une unique racine réelle {u_{n}}.
  2. Étudier la suite {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.

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