Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)

  1. Si {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}} montrer que {\sum\limits_{n\ge1} u_{n}} converge
  2. Soit {H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}. Montrer : {H_{n}\sim\ln(n)}.
  3. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(H_{2n+1}-H_{n})=\ln(2)}.
    En déduire la valeur de {\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}u_{k}}.

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